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Introduzione matematica al “lotto cartesiano”

grafico1Come gran parte di voi già sa una coppia qualsiasi di numeri può essere rappresentata su un piano cartesiano (il comune grafico a due dimensioni quello per esempio che puoi vedere per le quotazioni in borsa o nella nostra figura). Generalmente la retta orizzontale viene indicata con la X (è detta anche retta delle ascisse) e quella verticale con y (retta delle ordinate).

 

 

 

grafico2Nella seconda figura è mostrato come sono rappresentate le coppie (2,3), (-3,1) e (-1.5, -2.5). Se abbiamo più coppie di numeri si possono congiungere i relativi punti per vedere se essi sono su una curva (ellisse,parabola, iperbole o altra curva interessante), su una retta o se sono disposti completamente a caso. Se i numeri sono su una curva o retta precisa vuol dire che fra loro c’è una relazione matematica.

 

Ad esempio consideriamo un’automobile che si muove a velocità costante di 10 metri al secondo e facciamo un grafico nel quale sull’asse dell ascisse o asse delle X (quello orizzontale) mettiamo il tempo trascorso e su quello delle Y o asse delle ordinate (quello verticale) lo spazio percorso. All’istante 0 (quello in cui facciamo scattare il cronometro) l’automobile avrà percorso 0 metri coppia di coordinate (X=0,Y=0), dopo un secondo l’auto avrà percorso 10 metri coppia di coordinate (X=1,Y=10), dopo un altro secondo l’auto avrà percorso 20 metri complessivi coppia di coordinate (X=2,Y=20) e così via.

Se rappresentiamo queste coppie con dei punti sul piano cartesiano avremo che essi sono disposti su una retta (vedi figura).grafico3

Questo significa che i due numeri della coppia tempo trascorso e spazio percorso sono tra loro in relazione e come è facile capire la relazione è che lo spazio S (espresso in metri) è legato al tempo T (espresso in secondi) dalla legge S=10*T (sul nostro grafico ovviamente Y=10*X).

Conoscere questa legge significa conoscere la posizione dell’automobile in ogni istante infatti se vogliamo sapere la posizione dopo 20 secondi basta applicare la legge e abbiamo S=10*20=200 metri. Non sempre la legge è così ovvia da trovare a mente per questo spesso in fisica quando si vuole vedere se fra coppie di numeri c’è una legge che li lega si mettono in un grafico come abbiamo fatto noi e si vede sul grafico se c’è una retta o curva che passa per essi. Esiste tutto un ramo della statistica che si occupa dell’ argomento e una serie di algoritmi (anche complicati) che date delle coppie di numeri (o punti sul piano cartesiano il che è lo stesso) ti permettono di stabilire la retta o curva che meglio si adatta a quelle coppie (il termine tecnico è l’inglese “best fit”). Questo non deve sembrarvi strano perché anche in un caso semplice come quello dell’automobile nel momento in cui vai a fare effettivamente delle misure non devi aspettarti i punti perfettamente allineati su una retta. Per gli inevitabili piccoli errori nel determinare il tempo sul cronometro o la posizione dell’automobile i punti che ricavereste sarebbero vicini ad una retta ma non perfettamente allineati.

Lasciando perdere queste divagazioni comunque il punto fondamentale è che se i punti sono su una retta o curva ciò significa che le coppie di numeri che hanno dato quei punti sono in relazione. Il tipo di relazione più semplice si ha quando i punti sono su una retta, in tal caso si può dimostrare che la relazione è necessariamente del tipo Y=a*X+b dove a e b sono due numeri qualsiasi. Ad esempio per la nostra automobile a=10 e b=0 e quindi abbiamo Y=10*X+0. Come dicevamo la relazione non è sempre di questo tipo molte volte i punti non sono allineati su una retta.

grafico4Ad esempio se gettiamo in aria un oggetto e mettiamo su un grafico tempo trascorso e l’altezza raggiunta non avremo una retta ma una particolare curva (vedi figura) che si chiama parabola e la legge non sarà del tipo di quella vista in precedenza ma invece una in cui la X quindi compare anche al quadrato Y=a*X*X+b*X+C.

 

Spesso però in questi casi si può vedere se per piccoli tratti (o intervalli) si può approssimare la curva su cui sono i punti con una retta può risultare quindi anche in questi casi importante determinare una retta che ben si adatta ai punti anche se solo per un breve tratto.

Fatta questa parentesi matematica torniamo al gioco del lotto nel prossimo articolo.