Non sembrerebbe, ma già su questo, a priori, semplice concetto cominciano i problemi, e non di poco conto. Tutti sanno infatti che, come possiamo leggere, ad esempio su treccani.it, equiprobabile sta per:
“Che ha uguale grado di probabilità; in particolare, nel calcolo delle probabilità, di casi o eventi che siano ugualmente probabili.”
Ovvio e scontato già, ma solo se diamo appunto, per scontato, di sapere cosa sia la probabilità o almeno come sia possibile calcolarla. In caso contrario è come dire
– “Sai cosa significa che questi due sono equisupercalifragilistichespiralidosi?”
– “Semplicissimo significa che: sono entrambi supercalifragilistichespiralidosi allo stesso modo”
– “Ah ecco, allora è semplice io lo avevo visto alla prima occhiata che erano supercalifragilistichespiralidosi uguali spiccicati”
e così via di seguito come nel famoso sketch del Sarchiapone con Walter Chiari.
Tornando a noi e alla probabilità il problema è che definire cos’è o come misurare la probabilità di un evento è tutt’altro che facile. Al contrario tanto complesso dal punto di vista matematico epistemologico da far affermare provocatoriamente al matematico Bruno de Finetti “La probabilità non esiste” (a pensarci bene proprio come il sarchiapone in effetti :-)). Ovviamente non è certo questo il momento ed il luogo in cui sviscerare l’argomento ma chi vuole avere qualche ulteriore indicazione può leggere il nostro
Prima di cominciare questo primo approfondimento matematico permetteteci di precisare che sebbene in questi approfondimenti cercheremo di essere rigorosi e cioè di non dire sciocchezze o comunque affermazioni matematicamente errate o imprecise, questo è un sito web dedicato al lotto e non un testo di probabilità per le scuole, perdonate quindi qualche banalizzazione forse eccessiva che faremo per evitare di complicare troppo la trattazione e rendere il tutto accessibile anche ai non addetti ai lavori. In parole povere se non conoscete questi argomenti, queste pagine vi faranno apprendere qualcosa di nuovo e matematicamente corretto ma sempre ad un livello divulgativo, se siete degli esperti in materia (e probabilmente avete di meglio da fare che leggerci) segnalateci pure eventuali imprecisioni e/o errori riscontrati ma concedeteci il venir meno del rigoroso formalismo e tecnicismo indispensabile per una trattazione a livello liceale/universitario degli argomenti.
Senza andare troppo nel dettaglio, che andrebbe al di là degli scopi di questo sito, in estrema sintesi possiamo affermare che essenzialmente il problema è che a differenza di concetti, complessi da descrivere, ma misurabili attraverso uno strumento, come le grandezza fisiche: temperatura (termometro), forza (dinamometro) non abbiamo un misuratore automatico di probabilità. Abbiamo tutto il concetto intuitivo di cosa sia la probabilità di un evento ma come associare un numero a tale probabilità che sia oggettivo, vale a dire accettato da tutti non avendo un “probabilometro”? Stiamo ovviamente parlando di un caso reale come ad esempio la probabilità che una squadra di calcio vinca una partita e non di un caso ideale del tipo sia dato un dado senza imperfezioni …
Per capirci è come dire che un qualcosa o qualcuno sia bello, tutti abbiamo idea di cosa significhi, ma dare un numero, o meglio, in questo caso, un voto alla bellezza che sia indiscutibile come 2+2=4 di un singolo oggetto non è possibile. La bellezza è un concetto ampiamente soggettivo, certo due o più persone possono concordare che un qualcosa sia molto bello (o sia molto probabile) ma mettere d’accordo tutti con un numero secco non è possibile. In sintesi si suole dire: “non è bello ciò che è bello ma ciò che piace”. Non abbiamo il “bellezzometro” che metta tutti d’accordo. Questo non è un problema nel caso della bellezza perché la bellezza non è un concetto scientifico con cui fare calcoli di cui poi fidarsi per i nostri studi e ricerche. Nel caso della probabilità ovviamente il problema esiste.
Tutte le grandezze fisiche fondamentali (cioè che non derivano da altre) hanno infatti quella che si chiama “definizione operativa” cioè non vengono definite in fisica come una parola in un dizionario spiegandone il concetto in se ma spiegando come misurarla. Ovviamente non è importante la scala di misura o il nome da dare all’unità di misura, quello che importa è che effettuando l’operazione di misura come previsto dalla definizione tutti ottengano lo stesso valore (a meno dell’incertezza dovuta alla sensibilità dello strumento).
Esempio tipico può essere la temperatura. Tutti abbiamo il concetto di caldo e freddo e se dovessimo spiegare ad un bambino cosa significa che un oggetto è freddo non faremmo certo riferimento a concetti di termodinamica ma a sensazioni soggettive che però bastano nella vita di tutti i giorni per padroneggiare il concetto. In fisica la temperatura viene definita in base a come si misura e come se banalizzando dicessimo la temperatura è la cosa che si misura con il termometro. Sappiamo che esistono varie scale di temperatura e termometri di tutti i tipi ma l’importante è che il valore che danno per lo stesso luogo in un dato istante sia lo stesso.
Anche per la probabilità ci sarebbe una specie di definizione operativa detta anche “frequenzistica” che prevede (dicendola “alla buona” giusto per intenderci, in effetti le cose sono un po’ più complicate ovviamente) che per misurare le probabilità delle varie modalità di un evento si debba ripetere l’evento un numero “molto grande” di volte nelle stesse condizioni e contare il numero di volte in cui le varie modalità si presentano. Dividendo tali numeri per il numero totale di ripetizioni avremo le varie probabilità delle differenti modalità dell’evento. Ad esempio per sapere qual’è la probabilità che in un giorno non precisato dell’anno nell’isola di Pasqua ci sia pioggia, contiamo negli ultimi 10 anni quanti giorni di pioggia ci sono stati, dividiamo il numero per il totale dei giorni in 10 anni e avremo la nostra probabilità sempre se diamo per buono che in tali 10 anni non ci siano stati cambiamenti climatici significativi ma si stati sempre nelle stesse condizioni per quel che riguarda il nostro esperimento.
Non è difficile capire che tale definizione operativa ha diversi “punti deboli” dal punto di vista scientifico. Citiamo ad esempio il fatto che:
1) non potremo mai sapere con certezza se gli esperimenti o ripetizioni si siano verificati effettivamente nelle stesse condizioni. L’unico modo di stabilirlo con certezza sarebbe veder cambiare le probabilità degli eventi ma siccome non le abbiamo ancora misurate è chiaro che è un serpente che si morde la coda. Per far un esempio è come chiedere al dottore
“Ok faccio questa dieta ma come faccio a sapere se funziona?”
“Semplice, vi pesate una volta a settimana, ma potete usare solo ed esclusivamente questa bilancia qui”,
“E se la bilancia si rompesse?”
“In questo caso potreste accorgervi che la bilancia è rotta dal fatto che da una settimana all’altra il vostro peso cambia”
2) non è ben definito quanto sia grande il numero “molto grande” a cui facciamo riferimento nella definizione
3) sono tanti i casi in cui all’atto pratico non è possibile avere a disposizione un numero abbastanza elevato di casi uguali o simili su cui effettuare la statistica per il calcolo della frequenza
Per chi è interessato all’argomento consiglio la visione del seguente spezzone in cui vengono esposte alcune idee di de Finetti.
Si dice in questo ultimo caso che i numeri “non hanno memoria”. L’espressione rende bene l’idea di una condizione nella quale non importi quante volte è sortito o da quando è in ritardo un numero per renderlo più o meno probabile per cui l’ho citata anche se a mio avviso potrebbe essere talvolta in maniera letterale e quindi fuorviante. Quello che voglio dire è che se valesse il contrario (e cioè la frequenza passata dei numeri desse indicazioni “utili” sulle estrazioni successive) questo ovviamente non significherebbe attribuire “memoria” ai numeri nel senso letterale del termine come se ci fosse una specie di “coscienza” o volontà propria dell’estratto che si troverebbe a pensare “ricordo di non essere uscito per un bel po’ sarà il caso di uscire un po’ più spesso per ristabilire l’equilibrio”. Insomma niente di mistico o magico con numeri o estrazioni antropomorfizzati.
Per chiarire il tutto facciamo un esempio banale, immaginiamo un luogo della terra dove in media metà dei giorni dell’anno sono soleggiati e l’altra metà piovosi ad esempio in estate e primavera i giorni sono per lo più secchi e in autunno e inverno piove quasi sempre. Dovendo scommettere come sarà il tempo domani senza avere alcun’altra informazione non sapremmo cosa scegliere i due eventi sono appunto equiprobabili. Al contrario se sapessimo che negli ultimi 3 giorni ha piovuto sapremmo che con forte probabilità siamo nel periodo invernale e pertanto dovendo scommettere punteremmo sulla pioggia. In questo caso dovremmo dire il tempo “ha memoria” ma come nel caso dei numeri del lotto non intenderemo dire che ci sia una specie di coscienza del tempo che pensa “siamo in inverno quindi devo essere piovoso per rispettare la regola”, semplicemente il sistema in esame (in questo caso sistema meteorologico) è tale dagli eventi passati è possibile avere informazioni su quelli futuri anche se sul lungo periodo le frequenze si equivalgono.
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